肥皂泡、水立方里的数学趣味

    1801年比利时的科学家约瑟夫.普拉托揭示了所有泡沫聚合时的一个通行角度：120度，后来他逐渐发现了气泡时的一系列法则，后人为了表示对普拉托所做贡献的敬意，将这些法则称之为普拉托法则，三片泡沫薄膜相交所得的线条被称之为普拉托边界。这些法则是：第一条，泡沫薄膜总是三个三个的聚合在一起，且彼此之间均呈120度的角度；第二条，4条普拉托边界交汇时所构成的角度为109.47度（精确的说，是cos1/3）

    任何不满足普拉托定律的气泡都是不稳定的，从而会继续活动以演变为一个最终满足这些法则的稳定结构。直到1976年，简.泰勒才最终证实泡沫中的气泡必须满足普拉托定下的这些法则。普拉托为气泡聚合所订立的法则显示边线和表面都不是平直的，而是弯曲的。

    气泡聚合，永远会寻找消耗最少能量的那种形状，由于能量消耗和表面积成正比，因此，它们试图构建的形状也将含有最小肥皂泡表面的区域。蜜蜂已在二维空间中给出了答案：蜜蜂之所以使用六面体结构来建设蜂巢，是因为在每个蜂巢封存一定量蜂蜜的前提下，这种结构能够确保使用的蜂蜡的分量最少。现已证实，没有比六面体的蜂巢更加高效的二维结构了。

    对三维结构，1887年著名的英国物理学家开尔文男爵认为其中一个阿基米德足球形状是解决泡沫表面积最小问题的关键。他认为，去顶八面体——将标准八面体的6个角消掉后所得的形状，是最高效的。许多人相信开尔文给出的结构一定是最小表面积气泡的真实形状，但没人能够证明这一点。1993年，都柏林大学的丹尼斯.维埃尔和罗伯特.费兰发现两种新的形状，把它们组合起来后比开尔文的结构还节省0.3%的面积：第一种形状是由不规则的五边形所构成的不规则的十二面体；第二种形状是由2个拉长的六边形表面和12个不规则的两种五边形表面所构成的十四面体。

    但这是否就是气泡呈现的最好形状了呢？我们不得而知。

    北京奥运游泳中心，水立方的设计者Arup，力图捕捉到室内举行水上运动的精神，还想使这个建筑物具备一种自然有机的外观，他在找寻自然形状时一直在观察雾气、冰川和波浪。当他们偶然发现维埃尔和费兰发现的泡沫形状时，就意识到他们将有可能创造出建筑界从未应用的什么东西。为创造出不太规则的形状结构，他们决定从某个角度切开一块泡沫。

    当我们近距离观察水立方的外侧时，它看上去像用一块玻璃横截开泡沫时气泡所呈现的形状。但如果你仔细观察，会发现其中一些气泡并没有满足普拉托定律，除了呈现普拉托法则中规定的120度和109.47度以外，它还呈现出一个90度的直角，但无须担心，凭借隐藏于这一美妙结构背后的数学运算，水立方会稳固的矗立下去的。

    理解泡沫结构帮助我们弄清楚自然界中的许多其他结构的形状，比如植物细胞的结构、啤酒沫的结构等等，泡沫可用于灭火、用于采矿等，它们都建立在对泡沫数学结构的理解之上。

    （注，该文取材于英国Marcus du Sautoy著的《神奇的数学》——牛津教授给青少年的讲座；对于泡沫结构的直观观察，普拉托当年用立方体形铁丝浸泡在肥皂水中，取出即可看到）